Zagadki warte milion dolarów każda

Zagadki matematyczne sprzed wielu lat są nadal nierozstrzygnięte, a poświęcenie dla nich życia może bardzo się opłacić. Clay Mathematics Institute oferuje milion dolarów dla każdego, kto rozwiąże któryś z tzw. problemów milenijnych.

W 1900 roku w Paryżu odbył się Międzynarodowy Kongres Matematyków. David Hilbert wygłosił na nim referat, prezentujący stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku. Przedstawił również listę 23 nierozwiązanych problemów, nazywaną później „Problemami Hilberta”. On sam wtedy jeszcze nie zdawał sobie sprawy z wagi i trudności niektórych z nich.

Hipoteza Goldbacha

-->

Pruski matematyk Christian Goldbach w 1742 roku napisał list do przyjaciela, słynnego Leonarda Eulera. W liście tym zawarł wysnutą przez siebie hipotezę. Euler nieco ją uprościł i ostatecznie brzmi ona tak: „każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych”.

Faktycznie - 6 można przedstawić jako 3+3, 8 można przedstawić jako 5+3, itd. Dzięki komputerom udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 x 1017. Wiadomo jednak, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Nie możemy z góry założyć, że hipoteza będzie prawdziwa dla liczby milion razy większej. Dlatego trzeba ją udowodnić, aby można było swobodnie używać jej w matematyce.

Apostolos Dioxadis napisał książkę o człowieku, który całe swoje życie poświęcił tej zagadce. Książka nosi nazwę „Zabójcza hipoteza”. Główny bohater, matematyk, umiera dopiero w momencie, w którym udowodnił prawdziwość hipotezy Goldbacha. Umierający dzwoni do swojego bratanka i prosi go o przyjechanie z jakimś matematykiem, aby przed śmiercią przekazać dowód hipotezy w obecności świadków. Bratanek jednak nie dojeżdża na czas. Podobno historia oparta jest na faktach.

Na kogoś, kto obali lub potwierdzi hipotezę, czeka nagroda w wysokości miliona dolarów. Istnieje również szansa, że nie da się jej w ogóle udowodnić. A mówi o tym… "twierdzenie o niezupełności".

Jego autorem jest Kurt Gödel. Mówi ono, że w każdym systemie aksjomatycznym występują twierdzenia, które są prawdziwe, ale których nie można udowodnić. Wcześniej sądzono, że matematyka jest nauką zupełną. Dzięki temu twierdzeniu wiemy jednak, że nie da się tak zaprogramować komputera, by rozwiązał on wszystkie problemy matematyczne. Oznacza to, że być może hipotezy Goldbacha nie da się potwierdzić, mimo jej prawdziwości.  

Hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna stanowi kolejny nierozwiązany matematyczny problem. Dotyczy ona części rzeczywistych tzw. nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna. Jej znaczenie jest ogromne - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki i fizyki.

Okazuje się, że udowodnienie hipotezy Riemanna byłoby jednocześnie udowodnieniem problemu wymyślonego przez Goldbacha. Na liście Hilberta oba te stwierdzenia pojawiły się na miejscu ósmym. Hipoteza Riemanna znalazła się również wśród problemów milenijnych.

Listę tych zagadnień opublikowano 24 maja 2000 roku (sto lat po ogłoszeniu problemów Hilberta). Jest to zestaw siedmiu twierdzeń, które zostały uznane przez ośrodek Clay Mathematics Institute za ważne dla nauki. Za przeprowadzenie dowodu każdego z nich wyznaczono milion dolarów nagrody.

Na liście znajdują się poza hipotezą Riemanna jeszcze hipoteza Poincarégo , równania Naviera-Stokesa, hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera, teoria Yanga-Millsa, hipoteza Hodge'a oraz problem „P vs NP”.

Geniusz, który nie przyjął zapłaty

Hipoteza Poincarégo głosi, że „Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową.”. W dużym uproszczeniu oznacza to, że jeśli obiekt można ścieśnić do punktu, a następnie rozciągnąć go bez konieczności rozrywania lub sklejania, to jest on sferą trójwymiarową.

Jest to jedyny z problemów milenijnych, który został rozwiązany. W latach 2002-2003 hipoteza Poincarégo została potwierdzona przez rosyjskiego matematyka, Grigorija Perelmana. Swoje obliczenia opublikował w Internecie. Za ten wyczyn w sumie przyznano mu dwie nagrody: Nagrodę Tysiąclecia i medal Fieldsa (matematycznym odpowiednikiem Nobla). Zaproponowano mu oczywiście również milion dolarów. Rosjanin jednak nie przyjął żadnej z nagród – tej pieniężnej również. Stwierdził, że ma wszystko czego mu potrzeba i nie potrzebuje sławy i rozgłosu.

 

 Pozostałe problemy milenijne

Równania Naviera-Stokesa opisują zasady zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Stosuje się je bardzo często w meteorologii – np. do przewidywania zachowań huraganów czy wirów wodnych. Równania te zostały sformułowane w 1822 roku jednak do dzisiaj – podobnie jak w przypadku hipotezy Goldbacha – nie udowodniono ich słuszności dla najbardziej skomplikowanych zjawisk hydrodynamicznych. Stąd nagrodę w wysokości miliona dolarów można dostać zarówno za podanie kompletnych rozwiązań lub kontrprzykładu, czyli dowiedzenia, że sformułowane w XIX wieku zasady nie zawsze „działają”.

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera dotyczy metody znajdowania rozwiązań prostych równań. Zgodnie z jej głównym założeniem, gdy wartość pewnej funkcji w punkcie 1 wynosi 0, to ma ona nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych, natomiast gdy jest różna od zera to ich liczba jest skończona. Jak dotąd udało się udowodnić słuszność tej hipotezy jedynie dla niektórych przypadków.

Teoria Yanga-Millsa opisuje model matematyczny cząstek elementarnych. Ten opracowany w 1954 roku zbiór zasad umożliwił postęp w fizyce, m.in. poznaliśmy kwarki i oddziaływania między nimi. Jednak nie wszystkie zależności, które znalazły się w teorii Yanga-Millsa, zostały udowodnione. Na przykład ciągle niewyjaśniony jest problemem „uwięzienia” kwarków, których nie można zaobserwować pojedynczo.

Hipoteza Hodge'a zakłada, że fragmenty niektórych specjalnych typów przestrzeni zwane cyklami Hodge’a są kombinacjami geometrycznymi cykli algebraicznych. Problem ten został sformułowany w 1950 r. i do dzisiaj udało się dowieść słuszności tego stwierdzenia jedynie dla niektórych przypadków. Pozostałe wciąż czekają na udowodnienie.

Problem „P vs NP” ma charakter decyzyjny. Obecnie do rozwiązywania skomplikowanych równań używa się programów komputerowych. Jednak w niektórych przypadkach trwa to dużo dłużej niż w innych. Dlatego problemy podzielono na dwie grupy: P – czyli te które mogą zostać rozwiązane relatywnie szybko, oraz NP – których przeanalizowanie zajmuje dużo więcej czasu. Naukowcy zastanawiają się, czy w tym drugim przypadku można jakoś przyspieszyć procesy decyzyjne w komputerach tak, aby wszystkie te zagadnienia trafiły do grupy P. Osobie, której się to uda, wręczony zostanie milion dolarów nagrody.