Zagadki warte milion dolarów każda

Zagadki matematyczne sprzed wielu lat są nadal nierozstrzygnięte, a poświęcenie dla nich życia może bardzo się opłacić. Clay Mathematics Institute oferuje milion dolarów dla każdego, kto rozwiąże któryś z tzw. problemów milenijnych.

W 1900 roku w Paryżu odbył się Międzynarodowy Kongres Matematyków. David Hilbert wygłosił na nim referat, prezentujący stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku. Przedstawił również listę 23 nierozwiązanych problemów, nazywaną później „Problemami Hilberta”. On sam wtedy jeszcze nie zdawał sobie sprawy z wagi i trudności niektórych z nich.

Hipoteza Goldbacha

-->

Pruski matematyk Christian Goldbach w 1742 roku napisał list do przyjaciela, słynnego Leonarda Eulera. W liście tym zawarł wysnutą przez siebie hipotezę. Euler nieco ją uprościł i ostatecznie brzmi ona tak: „każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych”.

Faktycznie - 6 można przedstawić jako 3+3, 8 można przedstawić jako 5+3, itd. Dzięki komputerom udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 x 1017. Wiadomo jednak, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Nie możemy z góry założyć, że hipoteza będzie prawdziwa dla liczby milion razy większej. Dlatego trzeba ją udowodnić, aby można było swobodnie używać jej w matematyce.

Apostolos Dioxadis napisał książkę o człowieku, który całe swoje życie poświęcił tej zagadce. Książka nosi nazwę „Zabójcza hipoteza”. Główny bohater, matematyk, umiera dopiero w momencie, w którym udowodnił prawdziwość hipotezy Goldbacha. Umierający dzwoni do swojego bratanka i prosi go o przyjechanie z jakimś matematykiem, aby przed śmiercią przekazać dowód hipotezy w obecności świadków. Bratanek jednak nie dojeżdża na czas. Podobno historia oparta jest na faktach.

Na kogoś, kto obali lub potwierdzi hipotezę, czeka nagroda w wysokości miliona dolarów. Istnieje również szansa, że nie da się jej w ogóle udowodnić. A mówi o tym… "twierdzenie o niezupełności".

Jego autorem jest Kurt Gödel. Mówi ono, że w każdym systemie aksjomatycznym występują twierdzenia, które są prawdziwe, ale których nie można udowodnić. Wcześniej sądzono, że matematyka jest nauką zupełną. Dzięki temu twierdzeniu wiemy jednak, że nie da się tak zaprogramować komputera, by rozwiązał on wszystkie problemy matematyczne. Oznacza to, że być może hipotezy Goldbacha nie da się potwierdzić, mimo jej prawdziwości.  

Hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna stanowi kolejny nierozwiązany matematyczny problem. Dotyczy ona części rzeczywistych tzw. nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna. Jej znaczenie jest ogromne - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki i fizyki.

Okazuje się, że udowodnienie hipotezy Riemanna byłoby jednocześnie udowodnieniem problemu wymyślonego przez Goldbacha. Na liście Hilberta oba te stwierdzenia pojawiły się na miejscu ósmym. Hipoteza Riemanna znalazła się również wśród problemów milenijnych.

Listę tych zagadnień opublikowano 24 maja 2000 roku (sto lat po ogłoszeniu problemów Hilberta). Jest to zestaw siedmiu twierdzeń, które zostały uznane przez ośrodek Clay Mathematics Institute za ważne dla nauki. Za przeprowadzenie dowodu każdego z nich wyznaczono milion dolarów nagrody.

Na liście znajdują się poza hipotezą Riemanna jeszcze hipoteza Poincarégo , równania Naviera-Stokesa, hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera, teoria Yanga-Millsa, hipoteza Hodge'a oraz problem „P vs NP”.

Geniusz, który nie przyjął zapłaty

Hipoteza Poincarégo głosi, że „Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową.”. W dużym uproszczeniu oznacza to, że jeśli obiekt można ścieśnić do punktu, a następnie rozciągnąć go bez konieczności rozrywania lub sklejania, to jest on sferą trójwymiarową.

Jest to jedyny z problemów milenijnych, który został rozwiązany. W latach 2002-2003 hipoteza Poincarégo została potwierdzona przez rosyjskiego matematyka, Grigorija Perelmana. Swoje obliczenia opublikował w Internecie. Za ten wyczyn w sumie przyznano mu dwie nagrody: Nagrodę Tysiąclecia i medal Fieldsa (matematycznym odpowiednikiem Nobla). Zaproponowano mu oczywiście również milion dolarów. Rosjanin jednak nie przyjął żadnej z nagród – tej pieniężnej również. Stwierdził, że ma wszystko czego mu potrzeba i nie potrzebuje sławy i rozgłosu.

 

 Pozostałe problemy milenijne

Równania Naviera-Stokesa opisują zasady zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Stosuje się je bardzo często w meteorologii – np. do przewidywania zachowań huraganów czy wirów wodnych. Równania te zostały sformułowane w 1822 roku jednak do dzisiaj – podobnie jak w przypadku hipotezy Goldbacha – nie udowodniono ich słuszności dla najbardziej skomplikowanych zjawisk hydrodynamicznych. Stąd nagrodę w wysokości miliona dolarów można dostać zarówno za podanie kompletnych rozwiązań lub kontrprzykładu, czyli dowiedzenia, że sformułowane w XIX wieku zasady nie zawsze „działają”.

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera dotyczy metody znajdowania rozwiązań prostych równań. Zgodnie z jej głównym założeniem, gdy wartość pewnej funkcji w punkcie 1 wynosi 0, to ma ona nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych, natomiast gdy jest różna od zera to ich liczba jest skończona. Jak dotąd udało się udowodnić słuszność tej hipotezy jedynie dla niektórych przypadków.

Teoria Yanga-Millsa opisuje model matematyczny cząstek elementarnych. Ten opracowany w 1954 roku zbiór zasad umożliwił postęp w fizyce, m.in. poznaliśmy kwarki i oddziaływania między nimi. Jednak nie wszystkie zależności, które znalazły się w teorii Yanga-Millsa, zostały udowodnione. Na przykład ciągle niewyjaśniony jest problemem „uwięzienia” kwarków, których nie można zaobserwować pojedynczo.

Hipoteza Hodge'a zakłada, że fragmenty niektórych specjalnych typów przestrzeni zwane cyklami Hodge’a są kombinacjami geometrycznymi cykli algebraicznych. Problem ten został sformułowany w 1950 r. i do dzisiaj udało się dowieść słuszności tego stwierdzenia jedynie dla niektórych przypadków. Pozostałe wciąż czekają na udowodnienie.

Problem „P vs NP” ma charakter decyzyjny. Obecnie do rozwiązywania skomplikowanych równań używa się programów komputerowych. Jednak w niektórych przypadkach trwa to dużo dłużej niż w innych. Dlatego problemy podzielono na dwie grupy: P – czyli te które mogą zostać rozwiązane relatywnie szybko, oraz NP – których przeanalizowanie zajmuje dużo więcej czasu. Naukowcy zastanawiają się, czy w tym drugim przypadku można jakoś przyspieszyć procesy decyzyjne w komputerach tak, aby wszystkie te zagadnienia trafiły do grupy P. Osobie, której się to uda, wręczony zostanie milion dolarów nagrody.

Do czego służył pas cnoty?

Pas cnoty jest symbolem zniewolenia kobiet i ich całkowitego podporządkowania mężczyznom, niemal synonimem ponawianych przez wieki prób ograniczenia kobiecej seksualności. Wokół pasa cnoty narosło też wiele legend i mitów, jednak w rzeczywistości to urządzenie, przypominające średniowieczne narzędzia tortur, funkcjonuje bardziej w sferze symbolicznej niż kiedykolwiek było realnie wykorzystywane.

Pas cnoty to rzekomo średniowieczny wynalazek. Do tego popularnego przekonania przyczynili się dziewiętnastowieczni fałszerze, którzy, kierując się żądzą zysku i znając fascynację ówczesnych kolekcjonerów średniowieczem, dziwacznymi zabytkami z przeszłości i pełnymi grozy opowieściami o mrocznych zamkach i dzielnych rycerzach, masowo produkowali jak najstraszniejsze – pełne kolców i ostrych krawędzi – pasy cnoty, które niby miały być oryginalne. Sama idea zakuwania nieszczęsnych kobiet w żelazne pasy dobrze współgrała też z powszechną – zwłaszcza w oświeconym XVIII wieku – pogardą dla mrocznego, pełnego przerażającego zacofania średniowiecza. Tymczasem pierwsze informacje o pasach cnoty pochodzą ze starożytności, z terenów Afryki, dzisiejszych: Somalii, Etiopii, Sudanu i Jemenu, a inna nazwa tego słynnego urządzenia to „opaska syryjska”.

Kolejnym mitem, chętnie powtarzanym i najbardziej rozpowszechnionym, jest przekonanie, że pasy cnoty były wynalazkiem rycerzy, którzy podczas (często wieloletnich) wypraw krzyżowych chcieli mieć pewność, że ich żony będą wierne, a w aspekcie praktycznym – nie urodzą nieślubnych dzieci. To bardzo przekonywująca koncepcja, bo bazuje na najbardziej prymitywnych i powszechnych instynktach – mężczyźni od zawsze chcieli mieć pewność, że dzieci, w których wychowanie inwestują, są ich biologicznym potomstwem. Jednak uciekanie się do tak drastycznych cnoty rozwiązań, jak pas cnoty, wcale nie było domeną krzyżowców. O wiele sprytniejsi okazali się florenccy kupcy, którzy również byli zmuszeni do długiego podróżowania i pozostawiania (nierzadko dużo młodszych) żon w domach. To właśnie handlarzom przypisuje się wynalezienie tego "zabezpieczenia".

Pasy cnoty są dziś tematem żartów – zwłaszcza dotyczących przebiegłości kobiet i ich kochanków, umiejętnie pozbywających się przeszkody – jednak prawdziwe historie użycia tego przedmiotu są o wiele mniej zabawne. Pasy, co do których wiadomo, że są oryginalne (to najczęściej przedmioty pochodzące z czasów renesansu i późniejszych), to ciężkie konstrukcje z żelaza i skóry, których noszenie musiało prowadzić do powstawania otarć, ran i zakażeń – szczególnie niebezpiecznych w czasach przed wynalezieniem antybiotyków. Historycy uważają, że pasy cnoty nie były szczególnie popularne, niemniej jednak nosiły je setki kobiet, a wiele z nich mogło przypłacić życiem gorliwość mężów w próbach zapewnienia sobie wierności.

Pasy cnoty miały też inne, popularne zwłaszcza w XIX wieku, zastosowanie: ich zadaniem było chronić dzieci i młodzież (zresztą obojga płci) przed masturbacją i jej niebezpiecznymi – jak się wówczas powszechnie obawiano – skutkami. I jeśli już mowa o realnym, częstym użyciu tego przedmiotu, to prawdopodobnie spełniał on rolę ochronną i wykorzystywano go np. w więzieniach, gdzie istniało duże ryzyko gwałtu albo generalnie dla ochrony przed gwałtem w podróżach, a nawet – jak podają niektóre źródła – przed molestowaniem seksualnym w pracy!

Historyczne wzmianki o pasach cnoty dotyczą często znanych postaci. Według opowieści, Semiramida, legendarna asyryjska królowa, obawiając się uwiedzenia jej syna, ubrała w pasy cnoty wszystkie przebywające na dworze kobiety. W 1889 roku w Austrii, w grobie młodej kobiety, odnaleziono pas wykonany z żelaza i skóry. Grób pochodził z XVI wieku i to właśnie na ten okres – jak twierdzą historycy – przypada najczęstsze użycie tych pasów.

XVI-wieczny satyryczny drzeworyt, którego tematem jest bezużyteczność pasów cnoty. Młoda żona sięga do woreczka z pieniędzmi swojego dużo starszego męża po to, aby kupić za nie wolność i cieszyć się młodym kochankiem (to postać trzymająca klucz do pasa cnoty). Źródło: Wikimedia Commons,

Dwa pasy cnoty możemy podziwiać w Musée de Cluny w Paryżu. Jeden z nich – prosta obręcz z doczepioną żelazną płytką, ale wyłożona aksamitem – należał podobno do Katarzyny Medycejskiej. Drugi nosiła rzekomo Anna Austriaczka. Inne pasy cnoty znajdują się w zbiorach Germańskiego Muzeum Narodowego w Norymberdze i w British Museum w Londynie, nie są jednak wystawione w ekspozycjach ze względu na poważne wątpliwości co do ich autentyczności (prawdopodobnie są to sfałszowane w XIX wieku przedmioty, które dostały się w ręce ówczesnych kolekcjonerów).

Dziś również konstruuje się pasy cnoty, ale ich zastosowanie ogranicza się wyłącznie do erotycznych zabaw. Jednak w niektórych częściach świata (np. w krajach afrykańskich, w których seksualna przemoc jest prawdziwą plagą) żywa jest idea stworzenia urządzenia, które zapobiegałoby gwałtom. Krytycy takich pomysłów zdecydowanie podkreślają, że mechaniczne przeszkody nie mogą konkurować z długotrwałym przeobrażeniem świadomości potencjalnych gwałcicieli.

Gdzie życie utrzyma się na Ziemi w dalekiej przyszłości?

Za ok. 5 miliardów lat Słońce zamieniając się w czerwonego olbrzyma doprowadzi prawdopodobnie do zagłady Ziemi. Ale zanim do tego dojdzie, życie na planecie może zostać zniszczone przez zmieniające się warunki. Najnowsze badania miały ustalić, jakie będę jedne z ostatnich form życia i w jakich ekosystemach będą występowały.

Mamy dużo szczęścia, że nasza planeta okrąża gwiazdę, która ma jeszcze dość długie życie przed sobą. Jednak jasność Słońca będzie stopniowo wzrastała, czego skutki odczujemy za około miliard lat. Temperatura powierzchni zacznie wzrastać, w wyniku czego zwiększy się ilość pary wodnej w powietrzu. A to z kolei będzie powodowało dalsze ocieplenie. Tym samym rozpocznie się proces, który będzie odpowiadał za początek końca dla życia na Ziemi.

Narastająca ciepłota przyczyni się do zwiększenia liczby i wielkości opadów oraz siły wiatrów, co wpłynie na przyspieszenie wietrzenia skał krzemianowych. Ponieważ niezbędnym składnikiem tego procesu jest także dwutlenek węgla, większe jego ilości zaczną być zasysane z atmosfery. Końcowym produktem rozkładu krzemianów są węglany i krzemionka. Będą one wymywane przez częstsze deszcze i spłyną na dno oceanów.

W wyniku aktywności tektonicznej skały węglanowe zapadną się do wnętrza Ziemi, a następnie ulegną rozkładowi. Uwolnione w ten sposób cząsteczki CO2 wrócą do atmosfery w czasie erupcji wulkanów, doprowadzając do podgrzania planety.

Dowiodły tego najnowsze badania Czerwonej Planety, na której wystąpił odwrotny proces. Stosunkowo szybki zanik aktywności wulkanicznej na tym globie spowodował związanie praktycznie całego marsjańskiego dwutlenku węgla w skałach. A to z kolei przyczyniło się do oziębienia planety.

Zginą ssaki, i ptaki

Naukowcy wierzą, że woda jest niczym smar pozwalający na przemieszczanie się płyt kontynentalnych. Tymczasem wraz ze wzrostem temperatury planety nastąpiłoby przyspieszenie procesu parowania oceanów. Oznacza to, że również ruch płyt tektonicznych powoli by ustawał, a co za tym idzie spadłaby liczba aktywnych wulkanów, które zasilają atmosferę w dwutlenek węgla.

Brak tego związku spowoduje śmierć roślin, gdyż potrzebują go do przeprowadzenia procesu fotosyntezy. Ponieważ flora odpowiada także za produkcję tlenu, w dalszej kolejności w ciągu kilku milionów lat spadnie również jego ilość w atmosferze. A to będzie katastrofą dla życia zwierzęcego na Ziemi, głównie ssaków i ptaków, które wymrą jako pierwsze. Ryby, płazy i gady mają szanse przetrwać nieco dłużej, ponieważ potrzebują mniej tlenu oraz mają większą tolerancję na ciepło.

Ostatnim rodzajem zwierząt, które mają szansę najdłużej przeżyć na Ziemi, są prawdopodobnie bezkręgowce. Jednak nawet one w wyniku dalszego wzrostu temperatury zginą. I wtedy planeta będzie ponownie (tak jak miało to miejsce w pierwszym okresie historii naszego globu) zamieszkana wyłącznie przez mikroorganizmy.

Nowe raje w głębinach

Życie będzie rozpaczliwie poszukiwało nisz ekologicznych, w których będzie mogło przetrwać. Ale nawet dla ekstremofili będzie to spore wyzwanie. Największą szansę na przeżycie będą ofiarowały resztki ziemskich oceanów w postaci kilku basenów z wodą, które będą ostoją dla niektórych drobnoustrojów. 

Obecnie średnia głębokość tych największych zbiorników wodnych wynosi cztery kilometry. Ale są miejsca, które osiągają aż jedenaście tysięcy metrów poniżej poziomu morza. Rów Mariański jest najgłębszą znaną nam tego typu strukturą. Położony jest w zachodniej części Oceanu Spokojnego na południowy wschód od wysp Marianów. Tworzy łuk o długości blisko 2000 km.

Takie najgłębsze miejsca mogą stać się ostatnimi „okopami” życia na planecie, w której płynna woda będzie występowała w cieniu wysokich ścian.

 Jaskinię kupię

Innym potencjalnym rajem dla bakteryjnego życia na Ziemi mogą być systemy podziemnych jaskiń. Odnalezione niedawno mikroby są w stanie przetrwać w miejscach, do których nie dociera światło.

W dalekiej przyszłości nie wszystkie groty czy pieczary będą się nadawały do życia. Największe szanse na przetrwanie będą dawały jaskinie lodowe, które mogą zawierać wodę w stanie ciekłym. Dodatkowo w wyniku ucieczki ciepłego powietrza do góry i opadania zimnego na dół, być może utrzyma się tam w miarę stabilny chłodny klimat.

Życie będzie mogło istnieć także w innych podpowierzchniowych środowiskach. Współcześnie odkrywamy mikroorganizmy na głębokości 5,3 km poniżej powierzchni Ziemi. Temperatura otoczenia z każdym kilometrem w głąb może wzrastać nawet o ok. 30 stopni Celsjusza. Zależy to jednak od rodzaju skał i ich przewodnictwa cieplnego. Oznacza to, że w niektórych miejscach znajdujących się głęboko pod ziemią mogą panować warunki sprzyjające życiu.

Poszukiwane jezioro na szczycie

Kolejnym miejscem, które może w przyszłości zapewnić przetrwanie, są wysokie partie gór. Wraz ze wzrostem wysokości temperatura spada o ok. 6,5 stopnia Celsjusza na kilometr. Możliwe więc, że nie wszystkie górskie jeziora znikną. To właśnie w tych miejscach będą prawdopodobnie szukały schronienia ostatnie mikroorganizmy.

Schronieniem będą mogły być również szczyty wulkanów. Pomimo ustania ruchu płyt tektonicznych, konwekcja stopionych skał w płaszczu Ziemi będzie nadal występować. Procesy te spowodują, że wulkany będą wznosić się coraz wyżej - na wysokości, które obecnie są niemożliwe do osiągnięcia.

Również mieszkanie w pobliżu czynnego wulkanu nie powinno stanowić dla ektremofilnych mikroorganizmów wyzwania. Obecnie również zdarza się, że wokół takich obiektów znajdujemy bogatą florę bakteryjną.

Naukowcy stawiają sobie pytanie, czy te systemy ekologiczne późnego typu będą wyglądać podobnie, jak te z pierwszych okresów? Jest to istotne, jeśli chcemy odnaleźć życie, obserwując poziomy widm różnych gazów w atmosferach innych planet podobnych do Ziemi, które stworzą charakterystyczne dowody na istnienie form żywych. One podpowiedzą nam, czy dany glob jest młody, czy znajduje się w końcowej fazie swojej egzystencji.